Para encontrar el cero se iguala \( f(x)=0 \):
\( 2x+1=0 \).
Despejamos:
\[
2x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{2}.
\]
Así, el cero es \( x=-\frac{1}{2} \).
Como es una función lineal \( f(x)=2x+1 \) (polinomio de grado 1), se puede evaluar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Por tanto, el dominio es:
\[
\mathbb{R} \;=\; (-\infty,\infty).
\]
Una función lineal no constante tiene como rango todos los números reales, es decir: \[ (-\infty,\infty). \]
La pendiente \( m \) es el coeficiente de \( x \): en \( f(x)=2x+1 \) tenemos \( m=2 \).
Se obtiene evaluando \( f(0) \):
\( f(0)=2(0)+1=1 \).
Así, la ordenada al origen es \( (0,1) \).
Dado que la pendiente es positiva, la función es creciente. El cero está en \( x=-\frac{1}{2} \):
- Para \( x \in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \), \( f(x)<0 \).
- Para \( x \in \left(-\frac{1}{2},\infty\right) \), \( f(x)>0 \).
Igualamos \( -3x+2=0 \):
\( -3x= -2 \) y, dividiendo,
\[
x=\frac{2}{3}.
\]
Así, el cero es \( x=\frac{2}{3} \).
\( f(x)=-3x+2 \) es lineal, por lo que se puede evaluar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
El dominio es:
\[
(-\infty,\infty).
\]
Para una función lineal no constante, el rango es todos los reales:
\[
(-\infty,\infty).
\]
La pendiente es \( m=-3 \).
\( f(0)=-3(0)+2=2 \).
La ordenada al origen es \( (0,2) \).
Con \( x=\frac{2}{3} \) como cero y \( m<0 \):
- \( f(x)>0 \) para \( x \in (-\infty,\frac{2}{3}) \).
- \( f(x)<0 \) para \( x \in \left(\frac{2}{3},\infty\right) \).
Igualamos \( 4x-5=0 \):
\( 4x=5 \) y, dividiendo,
\[
x=\frac{5}{4}.
\]
Así, el cero es \( x=\frac{5}{4} \).
Como \( f(x)=4x-5 \) es lineal, el dominio es: \[ (-\infty,\infty). \]
El rango de una función lineal no constante es: \[ (-\infty,\infty). \]
La pendiente es \( m=4 \).
\( f(0)=4(0)-5=-5 \).
La ordenada al origen es \( (0,-5) \).
Para \( m>0 \) con cero en \( x=\frac{5}{4} \):
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in \left(\frac{5}{4},\infty\right) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in \left(-\infty, \frac{5}{4}\right) \).
Igualamos \( -2x-3=0 \):
\( -2x=3 \) y, dividiendo,
\[
x=-\frac{3}{2}.
\]
Así, el cero es \( x=-\frac{3}{2} \) (o \( -1.5 \)).
Al ser lineal, el dominio es: \[ (-\infty,\infty). \]
El rango es: \[ (-\infty,\infty). \]
La pendiente es \( m=-2 \).
\( f(0)=-2(0)-3=-3 \).
La ordenada al origen es \( (0,-3) \).
Para \( m<0 \) y el cero en \( x=-\frac{3}{2} \):
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in \left(-\frac{3}{2}, \infty\right) \).
Igualamos \( 3x+4=0 \):
\( 3x=-4 \) y, dividiendo,
\[
x=-\frac{4}{3}.
\]
Así, el cero es \( x=-\frac{4}{3} \).
El dominio de \( f(x)=3x+4 \) es: \[ (-\infty,\infty). \]
El rango de una función lineal no constante es: \[ (-\infty,\infty). \]
La pendiente es \( m=3 \).
\( f(0)=3(0)+4=4 \).
La ordenada al origen es \( (0,4) \).
Con \( m>0 \) y cero en \( x=-\frac{4}{3} \):
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in \left(-\frac{4}{3},\infty\right) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right) \).
Igualamos \( -5x+1=0 \):
\( -5x=-1 \) y, dividiendo,
\[
x=\frac{1}{5} \quad (0.2).
\]
Así, el cero es \( x=0.2 \).
La función \( f(x)=-5x+1 \) es lineal, por lo que su dominio es: \[ (-\infty,\infty). \]
El rango de \( f(x)=-5x+1 \) es: \[ (-\infty,\infty). \]
La pendiente es \( m=-5 \).
\( f(0)=-5(0)+1=1 \).
La ordenada al origen es \( (0,1) \).
Con \( m<0 \) y cero en \( x=\frac{1}{5} \):
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in \left(-\infty,\frac{1}{5}\right) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in \left(\frac{1}{5},\infty\right) \).