Función Cuadrática: \( f(x) = x^2 + 8x + 7 \)

Sección Izquierda

Ceros (Raíces) de la Función

Objetivo: Encontrar los valores de \( x \) que hacen \( f(x)=0 \).
Paso 1: Planteamos la ecuación: \[ x^2 + 8x + 7 = 0. \]
Paso 2: Buscamos dos números que al multiplicarlos den 7 y que sumados den 8; se observa que 7 y 1 cumplen: \( 7 \times 1 = 7 \) y \( 7 + 1 = 8 \).
Paso 3: Factorizamos: \[ x^2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1) = 0. \]
Paso 4: Igualamos cada factor a cero: \[ x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -7, \qquad x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1. \]
Resultado: Los ceros son \( x = -7 \) y \( x = -1 \).

Dominio

Concepto: El dominio es el conjunto de todos los valores de \( x \) para los que la función está definida.
Explicación: Un polinomio se compone de términos de la forma \( a_n x^n \) (con \( n \ge 0 \)). Dado que las operaciones de suma, multiplicación y potenciación (con exponente entero no negativo) están definidas para todo número real, no existen restricciones. No se presentan divisiones (que podrían causar indeterminaciones) ni raíces de números negativos (que, en el contexto de exponentes enteros, no restringen el dominio).
Resultado: El dominio es \[ \mathbb{R} = (-\infty, \infty). \]

Rango

Cálculo del rango: El rango es el conjunto de valores que puede tomar \( f(x) \).
Paso 1: Como el coeficiente \( a = 1 > 0 \), la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo en su vértice.
Paso 2: Calculamos el vértice con la fórmula \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(-4) \): \[ f(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9. \]
Conclusión: El vértice es \( (-4, -9) \), lo que significa que el valor mínimo es \(-9\) y el rango es: \[ [-9, \infty). \]

Sección Derecha

Vértice \((h, k)\)

Objetivo: Encontrar el punto donde la función alcanza su mínimo.
Paso 1: Usamos la fórmula \( h = -\frac{b}{2a} \). Con \( a = 1 \) y \( b = 8 \): \[ h = -\frac{8}{2} = -4. \]
Paso 2: Evaluamos \( f(-4) \) para hallar \( k \): \[ f(-4) = 16 - 32 + 7 = -9. \]
Resultado: El vértice es \( (-4, -9) \).

Ordenada al Origen

Definición: La ordenada al origen es el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 0 \).
Cálculo: Se evalúa: \[ f(0) = 0^2 + 8 \cdot 0 + 7 = 7. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, 7) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Objetivo: Determinar en qué intervalos la función es positiva o negativa.
Análisis: La función factorizada es: \[ f(x) = (x+7)(x+1). \]
Intervalos:

  • Para \( x \in (-\infty, -7) \): \( x+7 < 0 \) y \( x+1 < 0 \) ⟹ \( f(x) > 0 \); es decir, \( f(x) \) es positiva en \( (-\infty, -7) \).
  • Para \( x \in (-7, -1) \): Uno de los factores es negativo y el otro positivo ⟹ \( f(x) < 0 \); es negativa en \( (-7, -1) \).
  • Para \( x \in (-1, \infty) \): Ambos factores son positivos ⟹ \( f(x) > 0 \); es positiva en \( (-1, \infty) \).
Resultado: \( f(x) \) es positiva en \( (-\infty, -7) \cup (-1, \infty) \) y negativa en \( (-7, -1) \).

Ejemplos Adicionales de Ecuaciones Cuadráticas Detalladas (Coeficiente Positivo)

Ejemplo 1: \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ x^2 - 6x + 8 = 0. \]
Paso 2: Buscamos dos números que multiplicados den 8 y sumados den -6. Se observa que -2 y -4 cumplen, ya que \( (-2)(-4) = 8 \) y \( -2 + (-4) = -6 \).
Paso 3: Factorizamos: \[ x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = 2 \) y \( x = 4 \).

Dominio

Concepto: \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) es un polinomio, por lo que todas sus operaciones (potencias, multiplicaciones y sumas) se pueden realizar para cualquier número real.
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la función abre hacia arriba y tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice con \( h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \).
Paso 3: Evaluamos \( f(3) \): \[ f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. \]
Conclusión: El vértice es \( (3, -1) \) y el rango es: \[ [-1, \infty). \]

Vértice \((h, k)\)

Cálculo detallado:
Se utiliza la fórmula \( h = -\frac{b}{2a} \). Aquí, \( a = 1 \) y \( b = -6 \), por lo que: \[ h = -\frac{-6}{2(1)} = 3. \]
Luego, evaluamos \( f(3) \): \[ f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. \]
Resultado: El vértice es \( (3, -1) \).

Ordenada al Origen

Definición: Es el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 0 \).
Cálculo: \[ f(0) = 0^2 - 6(0) + 8 = 8. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en el punto \( (0, 8) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: La función factorizada es \( (x - 2)(x - 4) \).
Intervalos:
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in (2, 4) \).

Ejemplo 2: \( f(x) = x^2 + 4x + 3 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ x^2 + 4x + 3 = 0. \]
Paso 2: Buscamos dos números que multiplicados den 3 y sumados den 4; \( 1 \) y \( 3 \) cumplen, ya que \( 1 \times 3 = 3 \) y \( 1 + 3 = 4 \).
Paso 3: Factorizamos: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = -1 \) y \( x = -3 \).

Dominio

Concepto: Al ser un polinomio, \( f(x)=x^2+4x+3 \) está definido para todos los \( x \) reales, ya que no existen operaciones que restrinjan la entrada.
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la parábola tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice con \( h = -\frac{4}{2} = -2 \).
Paso 3: Evaluamos \( f(-2) \): \[ f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \]
Conclusión: El vértice es \( (-2, -1) \) y, por lo tanto, el rango es: \[ [-1, \infty). \]

Vértice \((h, k)\)

Cálculo detallado:
Utilizando \( h = -\frac{b}{2a} \) con \( b = 4 \) y \( a = 1 \), tenemos: \[ h = -\frac{4}{2} = -2. \]
Luego, evaluamos: \[ f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \]
Resultado: El vértice es \( (-2, -1) \).

Ordenada al Origen

Definición: Es el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 0 \).
Cálculo: \[ f(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, 3) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: La función factorizada es \( (x + 1)(x + 3) \).
Intervalos:
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, -3) \cup (-1, \infty) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-3, -1) \).

Ejemplo 3: \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ x^2 - 2x - 3 = 0. \]
Paso 2: Buscamos dos números que multiplicados den -3 y que sumados den -2; se observa que -3 y 1 cumplen, ya que \(-3 \times 1 = -3\) y \(-3 + 1 = -2\).
Paso 3: Factorizamos: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = 3 \) y \( x = -1 \).

Dominio

Explicación: \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) es un polinomio. No se presentan restricciones en \( x \) porque sus operaciones (potencias y sumas) se pueden efectuar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la función abre hacia arriba y tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice con: \[ h = -\frac{-2}{2} = 1. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(1) \): \[ f(1) = 1 - 2 - 3 = -4. \]
Conclusión: El vértice es \( (1, -4) \) y el rango es: \[ [-4, \infty). \]

Vértice \((h, k)\)

Aplicación de la fórmula:
Con \( a = 1 \) y \( b = -2 \): \[ h = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1. \]
Luego, \[ k = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4. \]
Resultado: El vértice es \( (1, -4) \).

Ordenada al Origen

Cálculo: Evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = 0 - 0 - 3 = -3. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -3) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: La función factorizada es \( (x - 3)(x + 1) \).
Intervalos:
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-1, 3) \).

Ejemplo 4: \( f(x) = x^2 + 2x - 8 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ x^2 + 2x - 8 = 0. \]
Paso 2: Usamos la fórmula general ya que la factorización directa no es evidente.
Cálculo del discriminante: \[ \Delta = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36. \]
Paso 3: Aplicamos la fórmula: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}. \]
Resultado: Se obtienen \( x = 2 \) y \( x = -4 \).

Dominio

Explicación: \( f(x)=x^2+2x-8 \) es un polinomio, por lo que todas sus operaciones son válidas para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la función tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{2}{2} = -1 \).
Paso 3: Evaluamos \( f(-1) \): \[ f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9. \]
Conclusión: El vértice es \( (-1, -9) \) y el rango es: \[ [-9, \infty). \]

Vértice \((h, k)\)

Aplicación de la fórmula:
Con \( a = 1 \) y \( b = 2 \): \[ h = -\frac{2}{2} = -1. \]
Luego, evaluamos: \[ k = f(-1) = 1 - 2 - 8 = -9. \]
Resultado: El vértice es \( (-1, -9) \).

Ordenada al Origen

Definición: Es el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 0 \).
Cálculo: \[ f(0) = 0 + 0 - 8 = -8. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -8) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: Con las raíces \( x = -4 \) y \( x = 2 \), se tiene que:
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-4, 2) \).

Ejemplos Adicionales - Ecuaciones Cuadráticas Negativas (Coeficiente \( a < 0 \))

Ejemplo 5: \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ -x^2 + 4x + 5 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\) para obtener: \[ x^2 - 4x - 5 = 0. \]
Paso 3: Calculamos el discriminante: \[ \Delta = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36. \]
Paso 4: Aplicamos la fórmula general: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}. \]
Resultado: Se obtienen \( x = \frac{10}{2} = 5 \) y \( x = \frac{-2}{2} = -1 \).

Dominio

Explicación: Aunque el coeficiente del término cuadrático es negativo, la función \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) es un polinomio, y sus operaciones (potencias, multiplicaciones y sumas/restas) se pueden realizar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Como \( a = -1 < 0 \), la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{4}{2(-1)} = 2. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(2) \): \[ f(2) = -2^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]
Conclusión: El vértice es \( (2, 9) \) y, por lo tanto, el rango es: \[ (-\infty, 9]. \]

Vértice \((h, k)\)

Aplicación detallada:
Con \( a = -1 \) y \( b = 4 \), usamos la fórmula: \[ h = -\frac{4}{2(-1)} = 2. \]
Luego, \[ k = f(2) = -2^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]
Resultado: El vértice es \( (2, 9) \).

Ordenada al Origen

Definición y Cálculo: Se obtiene evaluando \( f(0) \): \[ f(0) = -0^2 + 4(0) + 5 = 5. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, 5) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: La función factorizada (después de multiplicar por \(-1\)) es equivalente a la ecuación \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) con raíces \( x = -1 \) y \( x = 5 \).
Intervalos en notación:
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-1, 5) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \).

Ejemplo 6: \( f(x) = -x^2 - 2x + 8 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ -x^2 - 2x + 8 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\): \[ x^2 + 2x - 8 = 0. \]
Paso 3: Calculamos el discriminante: \[ \Delta = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36. \]
Paso 4: Aplicamos la fórmula: \[ x = \frac{-2 \pm 6}{2}. \]
Resultado: Se obtienen \( x = \frac{4}{2} = 2 \) y \( x = \frac{-8}{2} = -4 \).

Dominio

Explicación: \( f(x) = -x^2 - 2x + 8 \) es un polinomio, y todas sus operaciones se pueden realizar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Como \( a = -1 < 0 \), la función abre hacia abajo y tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(-1) \): \[ f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9. \]
Conclusión: El vértice es \( (-1, 9) \) y el rango es: \[ (-\infty, 9]. \]

Vértice \((h, k)\)

Cálculo detallado:
Con \( a = -1 \) y \( b = -2 \): \[ h = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1. \]
Luego, \[ k = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9. \]
Resultado: El vértice es \( (-1, 9) \).

Ordenada al Origen

Definición y Cálculo: Evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = -0^2 - 2(0) + 8 = 8. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, 8) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: Con las raíces \( x = -4 \) y \( x = 2 \), se tiene que para \( a < 0 \):
- \( f(x) > 0 \) en el intervalo donde se alcanza el máximo, es decir, en \( (-4, 2) \).
- \( f(x) < 0 \) en \( (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \).

Ejemplo 7: \( f(x) = -2x^2 + 8x - 6 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ -2x^2 + 8x - 6 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\) y dividimos por 2: \[ x^2 - 4x + 3 = 0. \]
Paso 3: Factorizamos: \[ (x - 1)(x - 3) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = 1 \) y \( x = 3 \).

Dominio

Explicación: \( f(x) = -2x^2 + 8x - 6 \) es un polinomio, por lo que se define para todos los \( x \) reales.
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Dado que \( a = -2 < 0 \), la función tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{8}{2(-2)} = 2. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(2) \): \[ f(2) = -2(4) + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2. \]
Conclusión: El vértice es \( (2, 2) \) y el rango es: \[ (-\infty, 2]. \]

Vértice \((h, k)\)

Aplicación detallada:
Con \( a = -2 \) y \( b = 8 \): \[ h = -\frac{8}{2(-2)} = 2. \]
Luego, \[ k = f(2) = -2(4) + 8(2) - 6 = 2. \]
Resultado: El vértice es \( (2, 2) \).

Ordenada al Origen

Cálculo: Se evalúa \( f(0) \): \[ f(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 6 = -6. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -6) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: Con las raíces \( x = 1 \) y \( x = 3 \), para \( a < 0 \) la función es positiva en el intervalo donde alcanza su máximo.
Intervalos en notación:
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (1, 3) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \).

Ejemplo 8: \( f(x) = -3x^2 + 12x - 9 \)

Ceros (Raíces) de la Función

Paso 1: Igualamos: \[ -3x^2 + 12x - 9 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\) y dividimos por 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0. \]
Paso 3: Factorizamos: \[ (x - 1)(x - 3) = 0. \]
Resultado: Las raíces son \( x = 1 \) y \( x = 3 \).

Dominio

Explicación: \( f(x) = -3x^2 + 12x - 9 \) es un polinomio, por lo que todas sus operaciones están definidas para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Rango

Paso 1: Dado que \( a = -3 < 0 \), la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice con \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{12}{2(-3)} = 2. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(2) \): \[ f(2) = -3(4) + 12(2) - 9 = -12 + 24 - 9 = 3. \]
Conclusión: El vértice es \( (2, 3) \) y el rango es: \[ (-\infty, 3]. \]

Vértice \((h, k)\)

Aplicación detallada:
Con \( a = -3 \) y \( b = 12 \): \[ h = -\frac{12}{2(-3)} = 2. \]
Luego, \[ k = f(2) = -3(4) + 12(2) - 9 = 3. \]
Resultado: El vértice es \( (2, 3) \).

Ordenada al Origen

Definición y Cálculo: Evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = -3(0)^2 + 12(0) - 9 = -9. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -9) \).

Intervalos de Positividad y Negatividad

Análisis: Con las raíces \( x = 1 \) y \( x = 3 \), para \( a < 0 \) la función es positiva en el intervalo donde se alcanza el máximo y negativa fuera de él.
Intervalos en notación:
- \( f(x) > 0 \) para \( x \in (1, 3) \).
- \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \).