Actividad: Círculo y Esfera

Explorando el Área, Circunferencia, Superficie y Volumen

Círculo

Un círculo es una figura geométrica plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un centro. Esta distancia se llama radio (r).

Fórmulas Importantes

Ejemplo Explicado

Problema: Calcula el área y la circunferencia de un círculo con \( r = 5 \, m \).

  1. Área:
    a) Escribe la fórmula: \( A = \pi \cdot r^2 \).
    b) Sustituye \( r = 5 \, m \): \( A = \pi \cdot (5 \, m)^2 \).
    c) Calcula \( (5 \, m)^2 = 25 \, m^2 \).
    d) Multiplica por \( \pi \): \( A = 25\pi \, m^2 \).
  2. Circunferencia:
    a) Escribe la fórmula: \( C = 2\pi \cdot r \).
    b) Sustituye \( r = 5 \, m \): \( C = 2\pi \cdot 5 \, m \).
    c) Multiplica: \( C = 10\pi \, m \).
r = 5 m
  1. Área: \( A = \pi \cdot (5 \, m)^2 = 25\pi \, m^2 \)
  2. Circunferencia: \( C = 2\pi \cdot 5 \, m = 10\pi \, m \)

Ejercicio 1 - Círculo

Calcula el área y la circunferencia de un círculo con \( r = 3 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = \pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 3 \, m \): \( A = \pi \cdot (3 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (3 \, m)^2 = 9 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 9\pi \, m^2 \).
  2. Circunferencia:
    1. Fórmula: \( C = 2\pi \cdot r \).
    2. Sustituye \( r = 3 \, m \): \( C = 2\pi \cdot 3 \, m \).
    3. Multiplica: \( C = 6\pi \, m \).
r = 3 m

Ejercicio 2 - Círculo

Calcula el área y la circunferencia de un círculo con \( r = 4 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = \pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 4 \, m \): \( A = \pi \cdot (4 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (4 \, m)^2 = 16 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 16\pi \, m^2 \).
  2. Circunferencia:
    1. Fórmula: \( C = 2\pi \cdot r \).
    2. Sustituye \( r = 4 \, m \): \( C = 2\pi \cdot 4 \, m \).
    3. Multiplica: \( C = 8\pi \, m \).
r = 4 m

Ejercicio 3 - Círculo

Calcula el área y la circunferencia de un círculo con \( r = 5 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = \pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 5 \, m \): \( A = \pi \cdot (5 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (5 \, m)^2 = 25 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 25\pi \, m^2 \).
  2. Circunferencia:
    1. Fórmula: \( C = 2\pi \cdot r \).
    2. Sustituye \( r = 5 \, m \): \( C = 2\pi \cdot 5 \, m \).
    3. Multiplica: \( C = 10\pi \, m \).
r = 5 m

Ejercicio 4 - Círculo

Calcula el área y la circunferencia de un círculo con \( r = 6 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = \pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 6 \, m \): \( A = \pi \cdot (6 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (6 \, m)^2 = 36 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 36\pi \, m^2 \).
  2. Circunferencia:
    1. Fórmula: \( C = 2\pi \cdot r \).
    2. Sustituye \( r = 6 \, m \): \( C = 2\pi \cdot 6 \, m \).
    3. Multiplica: \( C = 12\pi \, m \).
r = 6 m

Ejercicio 5 - Círculo

Calcula el área y la circunferencia de un círculo con \( r = 7 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = \pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 7 \, m \): \( A = \pi \cdot (7 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (7 \, m)^2 = 49 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 49\pi \, m^2 \).
  2. Circunferencia:
    1. Fórmula: \( C = 2\pi \cdot r \).
    2. Sustituye \( r = 7 \, m \): \( C = 2\pi \cdot 7 \, m \).
    3. Multiplica: \( C = 14\pi \, m \).
r = 7 m

Esfera

Una esfera es una figura tridimensional en la que todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro. Esta distancia se llama radio (\(r\)).

Fórmulas Importantes

Ejemplo Explicado

Problema: Calcula el área de superficie y el volumen de una esfera con \( r = 4 \, m \).

  1. Área de superficie:
    1. Fórmula: \( A = 4\pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 4 \, m \): \( A = 4\pi \cdot (4 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (4 \, m)^2 = 16 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 4\pi \cdot 16 = 64\pi \, m^2 \).
  2. Volumen:
    1. Fórmula: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \).
    2. Sustituye \( r = 4 \, m \): \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (4 \, m)^3 \).
    3. Calcula \( (4 \, m)^3 = 64 \, m^3 \).
    4. Multiplica: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \, m^3 \).
r = 4 m
  1. Área de superficie: \( A = 4\pi \cdot (4 \, m)^2 = 64\pi \, m^2 \)
  2. Volumen: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (4 \, m)^3 = \frac{256}{3}\pi \, m^3 \)

Ejercicio 1 - Esfera

Calcula el área de superficie y el volumen de una esfera con \( r = 2 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = 4\pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 2 \, m \): \( A = 4\pi \cdot (2 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (2 \, m)^2 = 4 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 4\pi \cdot 4 = 16\pi \, m^2 \).
  2. Volumen:
    1. Fórmula: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \).
    2. Sustituye \( r = 2 \, m \): \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (2 \, m)^3 \).
    3. Calcula \( (2 \, m)^3 = 8 \, m^3 \).
    4. Multiplica: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi \, m^3 \).
r = 2 m

Ejercicio 2 - Esfera

Calcula el área de superficie y el volumen de una esfera con \( r = 3 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = 4\pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 3 \, m \): \( A = 4\pi \cdot (3 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (3 \, m)^2 = 9 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \, m^2 \).
  2. Volumen:
    1. Fórmula: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \).
    2. Sustituye \( r = 3 \, m \): \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (3 \, m)^3 \).
    3. Calcula \( (3 \, m)^3 = 27 \, m^3 \).
    4. Multiplica: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \, m^3 \).
r = 3 m

Ejercicio 3 - Esfera

Calcula el área de superficie y el volumen de una esfera con \( r = 4 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = 4\pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 4 \, m \): \( A = 4\pi \cdot (4 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (4 \, m)^2 = 16 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 4\pi \cdot 16 = 64\pi \, m^2 \).
  2. Volumen:
    1. Fórmula: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \).
    2. Sustituye \( r = 4 \, m \): \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (4 \, m)^3 \).
    3. Calcula \( (4 \, m)^3 = 64 \, m^3 \).
    4. Multiplica: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \, m^3 \).
r = 4 m

Ejercicio 4 - Esfera

Calcula el área de superficie y el volumen de una esfera con \( r = 5 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = 4\pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 5 \, m \): \( A = 4\pi \cdot (5 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (5 \, m)^2 = 25 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \, m^2 \).
  2. Volumen:
    1. Fórmula: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \).
    2. Sustituye \( r = 5 \, m \): \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (5 \, m)^3 \).
    3. Calcula \( (5 \, m)^3 = 125 \, m^3 \).
    4. Multiplica: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi \, m^3 \).
r = 5 m

Ejercicio 5 - Esfera

Calcula el área de superficie y el volumen de una esfera con \( r = 6 \, m \).

  1. Área:
    1. Fórmula: \( A = 4\pi \cdot r^2 \).
    2. Sustituye \( r = 6 \, m \): \( A = 4\pi \cdot (6 \, m)^2 \).
    3. Calcula \( (6 \, m)^2 = 36 \, m^2 \).
    4. Multiplica: \( A = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \, m^2 \).
  2. Volumen:
    1. Fórmula: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \).
    2. Sustituye \( r = 6 \, m \): \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot (6 \, m)^3 \).
    3. Calcula \( (6 \, m)^3 = 216 \, m^3 \).
    4. Multiplica: \( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \, m^3 \).
r = 6 m
Círculo Esfera