Paso 1: Igualamos: \[ x^2 – 6x + 8 = 0. \]
Paso 2: Buscamos dos números que multiplicados den 8 y sumados den -6. Se observa que -2 y -4 cumplen, ya que \( (-2)(-4) = 8 \) y \( -2 + (-4) = -6 \).
Paso 3: Factorizamos: \[ x^2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = 2 \) y \( x = 4 \).

Concepto: \( f(x) = x^2 – 6x + 8 \) es un polinomio, por lo que todas sus operaciones (potencias, multiplicaciones y sumas) se pueden realizar para cualquier número real.
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la función abre hacia arriba y tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice con \( h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \).
Paso 3: Evaluamos \( f(3) \): \[ f(3) = 3^2 – 6(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1. \]
Conclusión: El vértice es \( (3, -1) \) y el rango es: \[ [-1, \infty). \]

Cálculo detallado:
Se utiliza la fórmula \( h = -\frac{b}{2a} \). Aquí, \( a = 1 \) y \( b = -6 \), por lo que: \[ h = -\frac{-6}{2(1)} = 3. \]
Luego, evaluamos \( f(3) \): \[ f(3) = 3^2 – 6(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1. \]
Resultado: El vértice es \( (3, -1) \).

Definición: Es el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 0 \).
Cálculo: \[ f(0) = 0^2 – 6(0) + 8 = 8. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en el punto \( (0, 8) \).

Análisis: La función factorizada es \( (x – 2)(x – 4) \).
Intervalos:
– \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty) \).
– \( f(x) < 0 \) para \( x \in (2, 4) \).

Paso 1: Igualamos: \[ x^2 + 4x + 3 = 0. \]
Paso 2: Buscamos dos números que multiplicados den 3 y sumados den 4; \( 1 \) y \( 3 \) cumplen, ya que \( 1 \times 3 = 3 \) y \( 1 + 3 = 4 \).
Paso 3: Factorizamos: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = -1 \) y \( x = -3 \).

Concepto: Al ser un polinomio, \( f(x)=x^2+4x+3 \) está definido para todos los \( x \) reales, ya que no existen operaciones que restrinjan la entrada.
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la parábola tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice con \( h = -\frac{4}{2} = -2 \).
Paso 3: Evaluamos \( f(-2) \): \[ f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1. \]
Conclusión: El vértice es \( (-2, -1) \) y, por lo tanto, el rango es: \[ [-1, \infty). \]

Cálculo detallado:
Utilizando \( h = -\frac{b}{2a} \) con \( b = 4 \) y \( a = 1 \), tenemos: \[ h = -\frac{4}{2} = -2. \]
Luego, evaluamos: \[ f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1. \]
Resultado: El vértice es \( (-2, -1) \).

Definición: Es el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 0 \).
Cálculo: \[ f(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, 3) \).

Análisis: La función factorizada es \( (x + 1)(x + 3) \).
Intervalos:
– \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, -3) \cup (-1, \infty) \).
– \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-3, -1) \).

Paso 1: Igualamos: \[ x^2 – 2x – 3 = 0. \]
Paso 2: Buscamos dos números que multiplicados den -3 y que sumados den -2; se observa que -3 y 1 cumplen, ya que \(-3 \times 1 = -3\) y \(-3 + 1 = -2\).
Paso 3: Factorizamos: \[ x^2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = 3 \) y \( x = -1 \).

Explicación: \( f(x) = x^2 – 2x – 3 \) es un polinomio. No se presentan restricciones en \( x \) porque sus operaciones (potencias y sumas) se pueden efectuar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la función abre hacia arriba y tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice con: \[ h = -\frac{-2}{2} = 1. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(1) \): \[ f(1) = 1 – 2 – 3 = -4. \]
Conclusión: El vértice es \( (1, -4) \) y el rango es: \[ [-4, \infty). \]

Aplicación de la fórmula:
Con \( a = 1 \) y \( b = -2 \): \[ h = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1. \]
Luego, \[ k = f(1) = 1 – 2 – 3 = -4. \]
Resultado: El vértice es \( (1, -4) \).

Cálculo: Evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = 0 – 0 – 3 = -3. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -3) \).

Análisis: La función factorizada es \( (x – 3)(x + 1) \).
Intervalos:
– \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \).
– \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-1, 3) \).

Paso 1: Igualamos: \[ x^2 + 2x – 8 = 0. \]
Paso 2: Usamos la fórmula general ya que la factorización directa no es evidente.
Cálculo del discriminante: \[ \Delta = 2^2 – 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36. \]
Paso 3: Aplicamos la fórmula: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}. \]
Resultado: Se obtienen \( x = 2 \) y \( x = -4 \).

Explicación: \( f(x)=x^2+2x-8 \) es un polinomio, por lo que todas sus operaciones son válidas para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Como \( a = 1 > 0 \), la función tiene un mínimo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{2}{2} = -1 \).
Paso 3: Evaluamos \( f(-1) \): \[ f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) – 8 = 1 – 2 – 8 = -9. \]
Conclusión: El vértice es \( (-1, -9) \) y el rango es: \[ [-9, \infty). \]

Aplicación de la fórmula:
Con \( a = 1 \) y \( b = 2 \): \[ h = -\frac{2}{2} = -1. \]
Luego, evaluamos: \[ k = f(-1) = 1 – 2 – 8 = -9. \]
Resultado: El vértice es \( (-1, -9) \).

Definición: Es el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 0 \).
Cálculo: \[ f(0) = 0 + 0 – 8 = -8. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -8) \).

Análisis: Con las raíces \( x = -4 \) y \( x = 2 \), se tiene que:
– \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \).
– \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-4, 2) \).

Paso 1: Igualamos: \[ -x^2 + 4x + 5 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\) para obtener: \[ x^2 – 4x – 5 = 0. \]
Paso 3: Calculamos el discriminante: \[ \Delta = (-4)^2 – 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36. \]
Paso 4: Aplicamos la fórmula general: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}. \]
Resultado: Se obtienen \( x = \frac{10}{2} = 5 \) y \( x = \frac{-2}{2} = -1 \).

Explicación: Aunque el coeficiente del término cuadrático es negativo, la función \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) es un polinomio, y sus operaciones (potencias, multiplicaciones y sumas/restas) se pueden realizar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Como \( a = -1 < 0 \), la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{4}{2(-1)} = 2. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(2) \): \[ f(2) = -2^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]
Conclusión: El vértice es \( (2, 9) \) y, por lo tanto, el rango es: \[ (-\infty, 9]. \]

Aplicación detallada:
Con \( a = -1 \) y \( b = 4 \), usamos la fórmula: \[ h = -\frac{4}{2(-1)} = 2. \]
Luego, \[ k = f(2) = -2^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]
Resultado: El vértice es \( (2, 9) \).

Definición y Cálculo: Se obtiene evaluando \( f(0) \): \[ f(0) = -0^2 + 4(0) + 5 = 5. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, 5) \).

Análisis: La función factorizada (después de multiplicar por \(-1\)) es equivalente a la ecuación \( x^2 – 4x – 5 = 0 \) con raíces \( x = -1 \) y \( x = 5 \).
Intervalos en notación:
– \( f(x) > 0 \) para \( x \in (-1, 5) \).
– \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \).

Paso 1: Igualamos: \[ -x^2 – 2x + 8 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\): \[ x^2 + 2x – 8 = 0. \]
Paso 3: Calculamos el discriminante: \[ \Delta = 2^2 – 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36. \]
Paso 4: Aplicamos la fórmula: \[ x = \frac{-2 \pm 6}{2}. \]
Resultado: Se obtienen \( x = \frac{4}{2} = 2 \) y \( x = \frac{-8}{2} = -4 \).

Explicación: \( f(x) = -x^2 – 2x + 8 \) es un polinomio, y todas sus operaciones se pueden realizar para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Como \( a = -1 < 0 \), la función abre hacia abajo y tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(-1) \): \[ f(-1) = -(-1)^2 – 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9. \]
Conclusión: El vértice es \( (-1, 9) \) y el rango es: \[ (-\infty, 9]. \]

Cálculo detallado:
Con \( a = -1 \) y \( b = -2 \): \[ h = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1. \]
Luego, \[ k = f(-1) = -(-1)^2 – 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9. \]
Resultado: El vértice es \( (-1, 9) \).

Definición y Cálculo: Evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = -0^2 – 2(0) + 8 = 8. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, 8) \).

Análisis: Con las raíces \( x = -4 \) y \( x = 2 \), se tiene que para \( a < 0 \):
– \( f(x) > 0 \) en el intervalo donde se alcanza el máximo, es decir, en \( (-4, 2) \).
– \( f(x) < 0 \) en \( (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \).

Paso 1: Igualamos: \[ -2x^2 + 8x – 6 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\) y dividimos por 2: \[ x^2 – 4x + 3 = 0. \]
Paso 3: Factorizamos: \[ (x – 1)(x – 3) = 0. \]
Resultado: Los ceros son \( x = 1 \) y \( x = 3 \).

Explicación: \( f(x) = -2x^2 + 8x – 6 \) es un polinomio, por lo que se define para todos los \( x \) reales.
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Dado que \( a = -2 < 0 \), la función tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice usando \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{8}{2(-2)} = 2. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(2) \): \[ f(2) = -2(4) + 8(2) – 6 = -8 + 16 – 6 = 2. \]
Conclusión: El vértice es \( (2, 2) \) y el rango es: \[ (-\infty, 2]. \]

Aplicación detallada:
Con \( a = -2 \) y \( b = 8 \): \[ h = -\frac{8}{2(-2)} = 2. \]
Luego, \[ k = f(2) = -2(4) + 8(2) – 6 = 2. \]
Resultado: El vértice es \( (2, 2) \).

Cálculo: Se evalúa \( f(0) \): \[ f(0) = -2(0)^2 + 8(0) – 6 = -6. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -6) \).

Análisis: Con las raíces \( x = 1 \) y \( x = 3 \), para \( a < 0 \) la función es positiva en el intervalo donde alcanza su máximo.
Intervalos en notación:
– \( f(x) > 0 \) para \( x \in (1, 3) \).
– \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \).

Paso 1: Igualamos: \[ -3x^2 + 12x – 9 = 0. \]
Paso 2: Multiplicamos por \(-1\) y dividimos por 3: \[ x^2 – 4x + 3 = 0. \]
Paso 3: Factorizamos: \[ (x – 1)(x – 3) = 0. \]
Resultado: Las raíces son \( x = 1 \) y \( x = 3 \).

Explicación: \( f(x) = -3x^2 + 12x – 9 \) es un polinomio, por lo que todas sus operaciones están definidas para cualquier \( x \in \mathbb{R} \).
Resultado: El dominio es: \[ \mathbb{R} \quad \text{o} \quad (-\infty, \infty). \]

Paso 1: Dado que \( a = -3 < 0 \), la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo.
Paso 2: Calculamos el vértice con \( h = -\frac{b}{2a} \): \[ h = -\frac{12}{2(-3)} = 2. \]
Paso 3: Evaluamos \( f(2) \): \[ f(2) = -3(4) + 12(2) – 9 = -12 + 24 – 9 = 3. \]
Conclusión: El vértice es \( (2, 3) \) y el rango es: \[ (-\infty, 3]. \]

Aplicación detallada:
Con \( a = -3 \) y \( b = 12 \): \[ h = -\frac{12}{2(-3)} = 2. \]
Luego, \[ k = f(2) = -3(4) + 12(2) – 9 = 3. \]
Resultado: El vértice es \( (2, 3) \).

Definición y Cálculo: Evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = -3(0)^2 + 12(0) – 9 = -9. \]
Interpretación: La gráfica corta el eje \( y \) en \( (0, -9) \).

Análisis: Con las raíces \( x = 1 \) y \( x = 3 \), para \( a < 0 \) la función es positiva en el intervalo donde se alcanza el máximo y negativa fuera de él.
Intervalos en notación:
– \( f(x) > 0 \) para \( x \in (1, 3) \).
– \( f(x) < 0 \) para \( x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \).