Guía para Encontrar Ecuaciones Cuadráticas a partir de Gráficas

Autor: Álvaro Gómez

Contenido

  • Introducción
  • Forma Estándar
  • Forma Canónica
  • Forma Factorizada
  • Ejercicios Prácticos

Objetivos

  • Identificar las formas: estándar, vértice y factorizada.
  • Aplicar métodos paso a paso con ejemplos detallados.
  • Practicar con ejercicios específicos.

Forma Estándar: \( y = ax^2 + bx + c \)

Método General

  1. Seleccionar tres puntos \((x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)\).
  2. Plantear el sistema: \[ \begin{aligned} y_1 &= a x_1^2 + b x_1 + c, \\ y_2 &= a x_2^2 + b x_2 + c, \\ y_3 &= a x_3^2 + b x_3 + c. \end{aligned} \]
  3. Resolver por sustitución o eliminación.
  4. Verificar la ecuación.

Gráfica del Ejemplo 1: Forma Estándar

Ejemplo 1: Forma Estándar

Solución

Datos: \((-1,2), (0,1), (2,5)\).

1. Planteo:

\[ \begin{aligned} 2 &= a(-1)^2 + b(-1) + c, \\ 1 &= c, \\ 5 &= a(2)^2 + b(2) + c. \end{aligned} \]

2. Simplificar: \( c = 1 \). Sustituyo:

\[ \begin{aligned} 2 &= a - b + 1 \implies a - b = 1, \\ 5 &= 4a + 2b + 1 \implies 4a + 2b = 4. \end{aligned} \]

3. Resolver: De \( a - b = 1 \), \( b = a - 1 \). Sustituyo:

\[ 4a + 2(a - 1) = 4 \implies 6a - 2 = 4 \implies a = 1, \quad b = 0. \]

4. Ecuación: \(\boxed{y = x^2 + 1}\).

Gráfica del Ejemplo 2: Forma Estándar

Ejemplo 2: Forma Estándar

Solución

Datos: \((1,4), (2,9), (3,16)\).

1. Planteo:

\[ \begin{aligned} 4 &= a + b + c, \\ 9 &= 4a + 2b + c, \\ 16 &= 9a + 3b + c. \end{aligned} \]

2. Eliminar \( c \):

\[ \begin{aligned} (9 - 4) &: 5 = 3a + b, \\ (16 - 9) &: 7 = 5a + b. \end{aligned} \]

3. Resolver: Restar: \( 7 - 5 = 2 = 2a \implies a = 1 \).\\ Sustituyo: \( 5 = 3(1) + b \implies b = 2 \).\\ En \( 4 = a + b + c \): \( 4 = 1 + 2 + c \implies c = 1 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = x^2 + 2x + 1}\).

Gráfica del Ejemplo 3: Forma Estándar

Ejemplo 3: Forma Estándar

Solución

Datos: \((0,0), (1,3), (2,8)\).

1. Planteo:

\[ \begin{aligned} 0 &= c, \\ 3 &= a + b + c, \\ 8 &= 4a + 2b + c. \end{aligned} \]

2. Simplificar: \( c = 0 \). Sustituyo:

\[ \begin{aligned} 3 &= a + b, \\ 8 &= 4a + 2b. \end{aligned} \]

3. Resolver: De \( a + b = 3 \), \( b = 3 - a \). Sustituyo:

\[ 8 = 4a + 2(3 - a) = 2a + 6 \implies 2a = 2 \implies a = 1, \quad b = 2. \]

4. Ecuación: \(\boxed{y = x^2 + 2x}\).

Gráfica del Ejemplo 4: Forma Estándar

Ejemplo 4: Forma Estándar

Solución

Datos: \((-2,5), (0,1), (1,2)\).

1. Planteo:

\[ \begin{aligned} 5 &= a(-2)^2 + b(-2) + c, \\ 1 &= c, \\ 2 &= a + b + c. \end{aligned} \]

2. Simplificar: \( c = 1 \). Sustituyo:

\[ \begin{aligned} 5 &= 4a - 2b + 1 \implies 4a - 2b = 4, \\ 2 &= a + b + 1 \implies a + b = 1. \end{aligned} \]

3. Resolver: Sumar: \( (4a - 2b) + 2(a + b) = 4 + 2 \implies 6a = 6 \implies a = 1 \).\\ Sustituyo: \( 1 + b = 1 \implies b = 0 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = x^2 + 1}\).

Gráfica del Ejemplo 5: Forma Estándar

Ejemplo 5: Forma Estándar

Solución

Datos: \((-1,0), (0,2), (1,0)\).

1. Planteo:

\[ \begin{aligned} 0 &= a(-1)^2 + b(-1) + c, \\ 2 &= c, \\ 0 &= a + b + c. \end{aligned} \]

2. Simplificar: \( c = 2 \). Sustituyo:

\[ \begin{aligned} 0 &= a - b + 2 \implies a - b = -2, \\ 0 &= a + b + 2 \implies a + b = -2. \end{aligned} \]

3. Resolver: Sumar: \( (a - b) + (a + b) = -2 - 2 \implies 2a = -4 \implies a = -2 \).\\ Sustituyo: \( -2 + b = -2 \implies b = 0 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = -2x^2 + 2}\).

Forma Canónica: \( y = a(x - h)^2 + k \)

Método General

  1. Identificar el vértice \((h,k)\).
  2. Tomar un punto \((x_1,y_1)\).
  3. Sustituir: \( y_1 = a(x_1 - h)^2 + k \).
  4. Despejar \( a \): \( a = \frac{y_1 - k}{(x_1 - h)^2} \).
  5. Escribir la ecuación.

Gráfica del Ejemplo 1: Forma Canónica

Ejemplo 1: Forma Canónica

Solución

Datos: Vértice \((2,-1)\), punto \((3,3)\).

1. Calcular: \((3 - 2)^2 = 1\).

2. Sustituir: \( 3 = a \cdot 1 + (-1) \).

3. Resolver: \( 3 + 1 = a \implies a = 4 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = 4(x - 2)^2 - 1}\).

Gráfica del Ejemplo 2: Forma Canónica

Ejemplo 2: Forma Canónica

Solución

Datos: Vértice \((0,2)\), punto \((1,5)\).

1. Calcular: \((1 - 0)^2 = 1\).

2. Sustituir: \( 5 = a \cdot 1 + 2 \).

3. Resolver: \( 5 - 2 = a \implies a = 3 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = 3x^2 + 2}\).

Gráfica del Ejemplo 3: Forma Canónica

Ejemplo 3: Forma Canónica

Solución

Datos: Vértice \((-1,4)\), punto \((1,8)\).

1. Calcular: \((1 - (-1))^2 = 4\).

2. Sustituir: \( 8 = a \cdot 4 + 4 \).

3. Resolver: \( 8 - 4 = 4a \implies a = 1 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = (x + 1)^2 + 4}\).

Gráfica del Ejemplo 4: Forma Canónica

Ejemplo 4: Forma Canónica

Solución

Datos: Vértice \((1,0)\), punto \((2,2)\).

1. Calcular: \((2 - 1)^2 = 1\).

2. Sustituir: \( 2 = a \cdot 1 + 0 \).

3. Resolver: \( a = 2 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = 2(x - 1)^2}\).

Gráfica del Ejemplo 5: Forma Canónica

Ejemplo 5: Forma Canónica

Solución

Datos: Vértice \((0,-3)\), punto \((1,-1)\).

1. Calcular: \((1 - 0)^2 = 1\).

2. Sustituir: \(-1 = a \cdot 1 - 3 \).

3. Resolver: \(-1 + 3 = a \implies a = 2 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = 2x^2 - 3}\).

Forma Factorizada: \( y = a(x - r_1)(x - r_2) \)

Método General

  1. Identificar raíces \( r_1, r_2 \).
  2. Tomar un punto \((x_1,y_1)\).
  3. Sustituir: \( y_1 = a (x_1 - r_1)(x_1 - r_2) \).
  4. Despejar \( a \): \( a = \frac{y_1}{(x_1 - r_1)(x_1 - r_2)} \).
  5. Escribir la ecuación.

Gráfica del Ejemplo 1: Forma Factorizada

Ejemplo 1: Forma Factorizada

Solución

Datos: Raíces \( r_1 = -1, r_2 = 2 \), punto \((0,2)\).

1. Calcular: \((0 - (-1))(0 - 2) = 1 \cdot (-2) = -2\).

2. Sustituir: \( 2 = a \cdot (-2) \).

3. Resolver: \( a = \frac{2}{-2} = -1 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = -(x + 1)(x - 2)}\).

Gráfica del Ejemplo 2: Forma Factorizada

Ejemplo 2: Forma Factorizada

Solución

Datos: Raíces \( r_1 = 1, r_2 = 3 \), punto \((2,-1)\).

1. Calcular: \((2 - 1)(2 - 3) = 1 \cdot (-1) = -1\).

2. Sustituir: \(-1 = a \cdot (-1) \).

3. Resolver: \( a = \frac{-1}{-1} = 1 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = (x - 1)(x - 3)}\).

Gráfica del Ejemplo 3: Forma Factorizada

Ejemplo 3: Forma Factorizada

Solución

Datos: Raíces \( r_1 = 0, r_2 = 4 \), punto \((2,-4)\).

1. Calcular: \((2 - 0)(2 - 4) = 2 \cdot (-2) = -4\).

2. Sustituir: \(-4 = a \cdot (-4) \).

3. Resolver: \( a = \frac{-4}{-4} = 1 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = x (x - 4)}\).

Gráfica del Ejemplo 4: Forma Factorizada

Ejemplo 4: Forma Factorizada

Solución

Datos: Raíces \( r_1 = -2, r_2 = 1 \), punto \((0,-4)\).

1. Calcular: \((0 - (-2))(0 - 1) = 2 \cdot (-1) = -2\).

2. Sustituir: \(-4 = a \cdot (-2) \).

3. Resolver: \( a = \frac{-4}{-2} = 2 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = 2(x + 2)(x - 1)}\).

Gráfica del Ejemplo 5: Forma Factorizada

Ejemplo 5: Forma Factorizada

Solución

Datos: Raíces \( r_1 = -3, r_2 = 0 \), punto \((1,8)\).

1. Calcular: \((1 - (-3))(1 - 0) = 4 \cdot 1 = 4\).

2. Sustituir: \( 8 = a \cdot 4 \).

3. Resolver: \( a = \frac{8}{4} = 2 \).

4. Ecuación: \(\boxed{y = 2x(x + 3)}\).

Ejercicios Prácticos

Forma Estándar

  1. \((2,3), (3,7), (4,13)\)
  2. \((-1,0), (1,4), (2,9)\)
  3. \((0,2), (2,10), (3,19)\)

Forma Canónica

  1. Vértice \((3,0)\), punto \((4,5)\)
  2. Vértice \((1,-2)\), punto \((2,2)\)
  3. Vértice \((0,1)\), punto \((2,9)\)

Forma Factorizada

  1. Raíces \(-2, 1\), punto \((0,-2)\)
  2. Raíces \(0, 3\), punto \((2,6)\)
  3. Raíces \(-1, 2\), punto \((1,-3)\)