Límites con Radicales
(Forma ∞/∞)

Álvaro Gómez

Ejercicio 1

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{3}+7x}+1}{x+\sqrt[3]{x^{3}-5}}$$

Ejercicio 1 – Solución

  1. Potencia dominante: $$\sqrt[3]{x^{3}+7x}\sim x$$ y $$\sqrt[3]{x^{3}-5}\sim x$$.
    Número ≃ \(x\); denominador ≃ \(x+x=2x\).
  2. Factorizamos \(x\): $$\frac{x}{2x}=\tfrac12.$$
  3. Resultado: $$\boxed{\tfrac12}$$

Ejercicio 2

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[4]{x^{2}+9}+3}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$$

Ejercicio 2 – Solución

  1. Potencia dominante: $$\sqrt[4]{x^{2}+9}\sim x^{1/2}$$; denominador ≃ \(2x^{1/2}\).
  2. Cociente: $$\frac{x^{1/2}}{2x^{1/2}}=\tfrac12.$$
  3. Resultado: $$\boxed{\tfrac12}$$

Ejercicio 3

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[4]{x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{2}-1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}$$

Ejercicio 3 – Solución

  1. Numerador ≃ \(2x^{1/2}\); denominador ≃ \(2x^{1/2}\).
  2. Cociente: \(\frac{2x^{1/2}}{2x^{1/2}}=1\).
  3. Resultado: $$\boxed{1}$$

Ejercicio 4

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3\sqrt[6]{x^{3}+1}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}}$$

Ejercicio 4 – Solución

  1. Numerador ≃ \(3x^{1/2}\); denominador ≃ \(2x^{1/2}\).
  2. Cociente: \(\frac{3}{2}\).
  3. Resultado: $$\boxed{\tfrac32}$$

Ejercicio 5

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-5}}{3\sqrt[6]{x^{3}+9}}$$

Ejercicio 5 – Solución

  1. Numerador ≃ \(2x^{1/2}\); denominador ≃ \(3x^{1/2}\).
  2. Cociente: \(\frac{2}{3}\).
  3. Resultado: $$\boxed{\tfrac23}$$

Ejercicio 6

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[5]{x^{4}+3x}+2}{\sqrt[4]{x^{3}}+\sqrt[4]{x}}$$

Ejercicio 6 – Solución

  1. Potencias dominantes: numerador ≃ \(x^{4/5}\), denominador ≃ \(x^{3/4}\).
  2. Relación \(x^{4/5}/x^{3/4}=x^{1/20}\to+\infty\).
  3. Resultado: Diverge a $$\boldsymbol{+\infty}$$

Ejercicio 7

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{2}+1}}$$

Ejercicio 7 – Solución

  1. Diferencia de raíces ≃ \(\frac{9}{2}x^{-1/2}\).
  2. Denominador ≃ \(x^{1/2}\).
  3. Cociente \(\sim \frac{9}{2}x^{-1}\to0\).
  4. Resultado: $$\boxed{0}$$

Ejercicio 8

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[6]{x^{3}+5x^{2}}-\sqrt[6]{x^{3}}}{\sqrt{x}+1}$$

Ejercicio 8 – Solución

  1. Factor común \(x^{1/2}\): diferencia ≃ \(\frac56 x^{-1/2}\).
  2. Denominador ≃ \(x^{1/2}\).
  3. Cociente ≃ \(\frac56 x^{-1}\to0\).
  4. Resultado: $$\boxed{0}$$

Ejercicio 9

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{3}+7}-\sqrt[3]{x^{3}-2}}{\sqrt[4]{x^{2}+x}}$$

Ejercicio 9 – Solución

  1. Diferencia ≃ \(\frac{9}{3x^{2}}\).
  2. Denominador ≃ \(x^{1/2}\).
  3. Cociente ≃ \(3x^{-5/2}\to0\).
  4. Resultado: $$\boxed{0}$$

Ejercicio 10

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4\sqrt[8]{x^{4}+1}+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}$$

Ejercicio 10 – Solución

  1. Numerador ≃ \(4x^{1/2}\); denominador ≃ \(2x^{1/2}\).
  2. Cociente \(\frac{4}{2}=2\).
  3. Resultado: $$\boxed{2}$$

Ejercicio 11

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[4]{x^{2}+4x}+\sqrt[4]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{3}+x}}$$

Ejercicio 11 – Solución

  1. Numerador ≃ \(2x^{1/2}\); denominador ≃ \(x\).
  2. Cociente \(2x^{-1/2}\to0\).
  3. Resultado: $$\boxed{0}$$

Ejercicio 12

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt[6]{x^{3}+10}}$$

Ejercicio 12 – Solución

  1. Numerador ≃ \(\tfrac12 x^{-1/2}\).
  2. Denominador ≃ \(x^{1/2}\).
  3. Cociente \(\tfrac12 x^{-1}\to0\).
  4. Resultado: $$\boxed{0}$$

Ejercicio 13

$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-5}}{2\sqrt[4]{x^{2}+3x}+3}$$

Ejercicio 13 – Solución

  1. Numerador ≃ \(2x^{1/2}\); denominador ≃ \(2x^{1/2}\).
  2. Cociente = 1.
  3. Resultado: $$\boxed{1}$$